Cơ học vật rắn biến dạng là môn khoa học nghiên cứu về sự cân bằng và chuyển động của vật rắn thực có kể đến sự thay đổi khoảng cách giữa các phần tử của vật thể trong quá trình chịu các tác động bên ngoài. Vật rắn thực là vật rắn bị biến dạng khi có tác động bên ngoài (ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ và các điều kiện môi trường bên ngoài khác) gọi tắt là vật rắn biến dạng. Đó là những vật rắn có thực. Các phần tử vật liệu của vật được coi là liên tục, lấp đầy thể tích không gian bên trong.

Cho trước các điều kiện tác động bên ngoài, cần xác định hiệu ứng của các tác động bên ngoài đó. Trong cơ học vật rắn biến dạng chỉ nghiên cứu các hiệu ứng xuất hiện trong vật rắn biến dạng khi chịu các tác động bên ngoài, tức là nghiên cứu sự thay đổi hình dáng, thể tích của vật gây nên do sự thay đổi khoảng cách giữa các phần tử vật chất của vật thể. Các hiệu ứng tác dụng của ngoại lực xuất hiện trong các biến dạng được gọi là các hiệu ứng cơ học.

Cơ học vật rắn biến dạng là môn khoa học tự nhiên có tính chất nền tảng và là cơ sở cho rất nhiều các chỉ dẫn, khuyến cáo và các tương quan định lượng được sử dụng khi tính toán, thiết kế các công trình thực tế khác nhau.

Lý thuyết đàn hồi là một phần của cơ học vật rắn biến dạng, nghiên cứu biến dạng của vật rắn do các tác động vật lý gây nên và xuất hiện khi đó các nội lực ở trạng thái đứng yên cũng như ở trạng thái chuyển động.

Khác với sức bền vật liệu, lý thuyết đàn hồi đi từ cái chung đến cái riêng và giải quyết những bài toán mà sức bền vật liệu không với tới. Các giả thiết cơ bản của lý thuyết đàn hồi rộng hơn và sử dụng công cụ toán học, nghiêm khắc hơn, chặt chẽ hơn ở sức bền vật liệu.

Lý thuyết đàn hồi chỉ giới hạn nghiên cứu các bài toán xác định trạng thái ứng suất biến dạng của vật thể chịu các tác động bên ngoài và không sử dụng các giả thiết không được chứng minh. Điều đó cho phép nhận được lời giải chính xác nhất có thể đối với vật thể có hình dáng bất kỳ.

Kết quả giải các bài toán bằng các phương pháp của lý thuyết đàn hồi cho 
phép đánh giá các giả thiết được sử dụng trong sức bền vật liệu và lập ra giới hạn áp dụng chúng.

Điều cốt lõi nhất là bằng các phương pháp của lý thuyết đàn hồi có thể giải một loạt các bài toán có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, vượt ra ngoài giới hạn của sức bền vật liệu. Ví dụ bài toán tập trung ứng suất, bài toán xoắn thanh mặt cắt ngang không tròn, bài toán xác định ứng suất trong thanh cong.

Tùy theo đặc điểm của mô hình vật rắn, lý thuyết đàn hồi được chia thành lý thuyết đàn hồi kinh điển, lý thuyết đàn hồi tuyến tính và lý thuyết đàn hồi phi tuyến [12].

Mô hình vật rắn biến dạng trong lý thuyết đàn hồi kinh điển có các tính chất cơ bản là (1) Liên tục, (2) Đàn hồi tuyệt đối, (3) Quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng, (4) Chuyển dịch của các phần tử khi biến dạng là bé, (5) Đồng nhất và (6) Đẳng hướng.

Lý thuyết đàn hồi tuyến tính nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng của vật rắn mà có thể là không đồng nhất và dị hướng, tức là mô hình của nó chỉ có 4 tính chất trong 6 tính chất kể trên. Như vậy lý thuyết đàn hồi kinh điển là trường hợp đơn giản nhất của lý thuyết đàn hồi tuyến tính.

Sự phát triển khoa học kỹ thuật ở giữa thế kỷ trước gắn liền với việc sử dụng các vật liệu mới cũng như các bộ phận kết cấu đa dạng về độ mềm được sử dụng rộng rãi, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không còn là tuyến tính mà là phi tuyến, tạo ra sự cần thiết giải các bài toán thuộc lý thuyết đàn hồi phi tuyến. Các bài toán này có thể là phi tuyến hình học (khi mà vật thể không có đủ độ cứng, ví dụ như các thanh mềm) hoặc có thể là phi tuyến vật lý (khi vật thể không tuân theo định luật Húc). Trong các trường hợp như vậy các tính chất của mô hình vật thể đàn hồi tuyến tính của lý thuyết đàn hồi kinh điển không áp dụng được.

Lý thuyết đàn hồi phi tuyến như vậy còn có đặc tính chung hơn và giải các bài toán có phạm vi rộng hơn và có tác dụng thúc đẩy các phương pháp kỹ thuật tiên tiến hơn. Điều này không làm giảm giá trị nền tảng của lý thuyết đàn hồi kinh điển và không có nghĩa là lý thuyết đàn hồi kinh điển là trường hợp riêng của lý thuyết đàn hồi phi tuyến.

Mô hình của vật rắn trong lý thuyết đàn hồi kinh điển và lý thuyết đàn hồi tuyến tính có đặc tính chung quan trọng là tính đàn hồi tuyệt đối và quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng, vì vậy nhiều khi chỉ phân biệt đàn hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến, kèm theo là lý thuyết đàn hồi tuyến tính và lý thuyết đàn hồi phi tuyến là bao trùm cả. Còn mô hình vật rắn không đồng nhất và dị hướng là các trường hợp đặc biệt do cũng có đặc tính chung nêu trên. Do đó nói lý thuyết đàn hồi, tức là nói lý thuyết kinh điển và trong các tài liệu đều gọi ngắn gọn là lý thuyết đàn hồi. Sự phát triển tiếp theo của môn học là lý thuyết dẻo và lý thuyết từ biến.

Các khó khăn rất lớn về mặt toán học gặp phải khi giải các bài toán lý thuyết đàn hồi đã lôi cuốn sự chú ý của nhiều nhà toán học nổi tiếng thế kỷ XIX như Lame, Klapeiron, Puasson (Poát sông) …

Thời điểm xuất hiện lý thuyết đàn hồi toán học được coi là vào năm 1821 khi mà L.Navie lần đầu tiên công bố công trình nghiên cứu, trong đó thiết lập được các phương trình cơ bản hình thành môn học.

Sự phát triển tiếp theo của lý thuyết đàn hồi được ghi nhận trong các công trình của Kosi (1789 - 1857), người lần đầu tiên đưa ra khái niệm biến dạng và ứng suất đã làm đơn giản các phương trình tổng quát. Vào 1828 cấu trúc cơ bản của lý thuyết đàn hồi toán học đã được hình thành, đúc kết từ các nghiên cứu được công bố của các nhà khoa học người pháp G.Lame (1795 - 1870) và Klapeiron (1799 - 1864) trong thời gian đó giảng dạy ở trường đại học giao thông Peterburg. Họ đã cùng nhau công bố các phương trình tổng quát giải các bài toán thực tế.

Nhà khoa học, cơ học người Pháp Senvenan (1797 - 1886) đã nêu nguyên lý về ảnh hưởng của cách đặt lực cụ thể lên hệ đàn hồi, đã mở ra khả năng giải rất nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi. Đó là nguyên lý Senvenan rất quan trọng và nổi tiếng không thể không nhắc đến.

Trong những năm 20 của thế kỷ XIX trong các bản thông tin khoa học của Viện hàn lâm khoa học Pari (Pháp) xuất hiện một loạt công trình của Kosi, Navie, Puasson, trong đó đã thiết lập được các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi hiện đại, đã phát triển ứng dụng các phương trình tổng quát đối với một số bài toán dao động và cân bằng của môi trường đàn hồi. Grin đã đưa ra cách tiếp cận năng lượng để chứng minh các phương trình của lý thuyết đàn hồi.

Các phương trình đã được chứng minh của lý thuyết đàn hồi lần đầu tiên được Lame diễn đạt trong các bài giảng công bố vào năm 1852.

Có thể nói rằng các cơ sở của lý thuyết đàn hồi đã được nghiên cứu hầu như cùng một thời gian bởi Navie (1821), Côsi (1822), Puasson (1829). Hoàn toàn độc lập với nhau, các nhà khoa học này thực chất đã thiết lập được các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi. Đặc biệt nổi bật là các công trình nghiên cứu của Kosi. Khác với Navie và Puasson sử dụng giả thiết của lực phân tử, Kosi dựa trên phương pháp tĩnh học vật rắn, đã đưa ra khái niệm biến dạng và ứng suất và thiết lập các phương trình vi phân cân bằng, các điều kiện biên, tương quan giữa biến dạng và chuyển dịch cũng như tương quan giữa ứng suất và biến dạng đối với vật thể đẳng hướng, ban đầu chứa hai hằng số đàn hồi.

Sự đóng góp rất đáng kể tiếp theo cho lý thuyết đàn hồi phải kể đến Lame và Klapeiron. Cùng với việc nghiên cứu các cơ sở của lý thuyết đàn hồi cũng như đặt ra và giải một loạt các vấn đề có ý nghĩa thực tiễn, Lame đã viết cuốn sách đầu tiên về lý thuyết đàn hồi - Các bài giảng về lý thuyết đàn hồi toán học của vật rắn (1852).

Công trình nghiên cứu của Grin (1829) có ý nghĩa rất lớn, tác giả đã đưa ra quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dựa trên nguyên lý bảo toàn năng lượng, không sử dụng giả thiết về ứng xử của vật thể đàn hồi. Công trình nghiên cứu này cho phép giải quyết vấn đề tranh cãi vào thời kỳ đó về số các hằng số đàn hồi.

Vào nửa thứ hai của thế kỷ XIX G.Kirkhgof đã nghiên cứu hoàn chỉnh lý thuyết bản mỏng. Các bước đi đầu tiên theo hướng này được thực hiện bởi Lagrang và Sofi Giermen vào 1814 và sau đó Kosi và Puasson nhưng lại không xây dựng được đúng các điều kiện biên của bài toán.

Gi.Bussineck đã nghiên cứu sự phân bố ứng suất trong vật thể đàn hồi dưới tác dụng của lực tập trung. Kết quả nghiên cứu này đã mở ra khả năng cho G.Gers nghiên cứu bài toán về sự tác dụng tương hỗ khi tiếp xúc của hai vật thể đàn hồi.

Nếu các nhà toán học Pháp có đóng góp chủ chốt trong những vấn đề tổng quát nhất của lý thuyết đàn hồi, các nhà khoa học Nga cũng có đóng góp lớn trong việc phát triển khoa học về độ bền bằng các lời giải rất nhiều các bài toán thực tế cấp thiết. Từ 1828 đến 1860 trong các trường đại học kỹ thuật ở Peterburg, nhà toán học, cơ học lỗi lạc M.V. Ostogradski (1801 - 1861) giảng dạy và có các nghiên cứu về các vấn đề dao động xuất hiện trong môi trường đàn hồi, có ý nghĩa quan trọng đối với sự phát triển của lý thuyết đàn hồi.

A.V.Gadolin (1828 - 1892) đã áp dụng bài toán Lame về biến dạng đối xứng trục của ống dày để nghiên cứu ứng suất xuất hiện trong nòng pháo, là một trong những ứng dụng đầu tiên lý thuyết đàn hồi vào bài toán kỹ thuật cụ thể. Trong những bài toán được giải vào cuối thế kỷ XIX phải kể đến công trình nghiên cứu của Kh.S.Golovin (1844 - 1904) bằng các phương pháp của lý thuyết đàn hồi đã đưa ra tính toán chính xác, thanh cong, từ đó cho khả năng xác định mức độ chính xác của các lời giải gần đúng.

Quan hệ gắn chặt với thực tế xây dựng, tính nguyên tắc và độ sâu phân tích là đặc trưng cho khoa học Nga. Bubnov.I.G (1872 - 1919) đã đề xuất một phương pháp gần đúng mới tích phân phương trình vi phân, được B.G.Galerkin (1871 - 1945) phát triển rực rỡ về sau.

Phương pháp biến phân Bubnov - Galerkin được ứng dụng rộng rãi vào nửa cuối thế kỷ XX. Các công trình nghiên cứu của các nhà khoa học này có ý nghĩa rất lớn trong lý thuyết bản mỏng bên cạnh phương pháp của Rits - Timôsenko.

Một loạt các nghiên cứu về ổn định của bản, về lý thuyết va chạm của hệ đàn hồi … của N.N. Dinhic (1876 - 1950) cùng các nghiên cứu của Leibenzon L.C (1879 - 1951) về ổn định của vỏ trụ và vỏ cầu có ý nghĩa thực tiễn rất lớn. Nói về tấm và vỏ không thể không nói đến V.3.Vlasov (1906 - 1958). Ông là nhà khoa học lớn về lĩnh vực này của Nga nửa đầu thế kỷ XX. Các công trình nghiên cứu cơ bản về lý thuyết tổng quát thanh không gian thành mỏng, vỏ và hệ vỏ gấp của V.3.Vlasov có ý nghĩa quan trọng cho thực tế xây dựng.

Trên đây là tổng quan cô đọng về sự phát triển của môn học, không thể kể hết được những công trình nghiên cứu, những đóng góp của tất cả các nhà khoa học vào sự phát triển của lý thuyết đàn hồi, nhất là các nghiên cứu ứng dụng của các nhà khoa học Nga, có thể tìm ở rất nhiều xuất bản chuyên sâu ở những lĩnh vực khác nhau của thực tế xây dựng ở nửa cuối thế kỷ XIX và nửa đầu thế kỷ XX.

Trong giáo trình này, ngoài nội dung truyền thống như lý thuyết ứng suất, lý thuyết biến dạng, định luật Húc (quan hệ giữa hai trạng thái ứng suất và biến dạng) bài toán phẳng trong tọa độ đề các, bài toán phẳng trong tọa độ cực, tác giả có trình bày phần lý thuyết đàn hồi ứng dụng nhưng chỉ giới hạn đối với bản mỏng và vỏ mỏng. Lý thuyết về uốn tấm, bản mỏng là lĩnh vực mà tác giả có nhiều nghiên cứu chuyên sâu và tương đối toàn diện [15]. Trong phần này tác giả đã chọn lọc và trình bày những lời giải kinh điển về bài toán uốn bản mỏng như lời giải của Navie, lời giải của Levi và có trình bày phương pháp biến phân được áp dụng để giải các bài toán này. Có ví dụ tính toán bản chịu uốn theo phương pháp biến phân của Rits - Timôsenco và của Bubnov - Galerkin.

Về vỏ mỏng, tác giả chỉ giới hạn trình bày một số loại vỏ thường gặp trên thực tế như vỏ tròn xoay (vòm) chịu tải trọng đối xứng trục theo thuyết phi mômen, vỏ trụ tròn theo thuyết mômen.